Setelah beberapa waktu saya berusaha keras untuk membuat script sederhana untuk memvisualisasikan metode ini menggunakan Mathematica, Alhamdulillah akhirnya selesai juga. Tujuan utama dari pembuatan script ini supaya memudahkan mahasiswa saya dalam memahami konsep metode biseksi ini. dan.. Alhamdulillah terbukti, karena setelah diujicobakan untuk keperluan kuliah, banyak mahasiswa saya yang memahami konsep ini.

Bagi Anda baik para dosen maupun mahasiswa yang ingin mencoba script buatan saya ini, saya persilakan

Download Script

Dalam script yang saya buat ini, ada dua modul yang bisa digunakan yaitu modul pertama untuk membuat visualisasi metode biseksi untuk setiap iterasi dan modul kedua untuk menampilkan hasil komputasinya pada setiap iterasi.

Berikut ini beberapa contoh perintah penggunaannya:

Adapun sintaks yang  digunakan untuk membuat visualisasi dalam script yang saya buat adalah

BiseksiVisual[f, a, b, n, fontSize];

dengan parameter f menunjukkan fungsi yang akan dicari akarnya, a adalah batas kiri dari interval awal yang diambil, b adalah batas kanan interval awal, n adalah jumlah iterasi yang diinginkan dan fontSize adalah ukuran font output yang ingin ditampilkan pada grafik visualisasi.

Sebagai contoh, misalkan akan dibuat visualisasi metode biseksi untuk mencari akar dari fungsi f(x) = x Sin(x) pada selang [2, 6] dengan 5 iterasi, maka perintahnya adalah

BiseksiVisual[x Sin[x], 2, 6, 5, FontSize -> 10];

Perintah di atas akan menghasilkan visualisasi sebagai berikut

Visualisasi pada iterasi ke-0

Visualisasi pada iterasi ke-1

Visualisasi pada iterasi ke-2

Visualisasi pada iterasi ke-3

Visualisasi pada iterasi ke-4

Visualisasi pada iterasi ke-5

Selanjutnya untuk modul kedua, misalkan kita ingin melihat proses perhitungan untuk setiap iterasi metode biseksi, maka sintaksnya:

BiseksiIteration[f, a, b, n];

Pada contoh kasus di atas, kita dapat melihat proses perhitungan akar pendekatannya sebagai berikut

BiseksiIteration[x Cos[x], 2, 6, 5];

Dan hasilnya akan diperoleh

OK demikian script yang saya buat. Mudah-mudahan bisa Anda manfaatkan untuk memahami konsep metode biseksi. Kalau ada pertanyaan dan saran terkait dengan metode biseksi maupun scriptnya, jangan ragu untuk kontak saya via komentar di bawah ini.

Related posts:

1. Membuat Visualisasi Perpotongan Garis, Bidang, dan Bangun Ruang Menggunakan Mathematica
2. Penggunaan Metode Newton untuk Pencarian Akar di Maple
3. Animasi Visualisasi Grafik Kurva Linear dengan Mathematica

Memang di pasaran saat ini sudah tersedia beberapa software untuk keperluan komputasi matematika. Software-software tersebut tidak hanya berfungsi sebagai alat hitung saja seperti halnya kalkulator, namun bisa juga sebagai sarana belajar untuk memahami konsep-konsep matematika. Beberapa software ini sebut saja Maple, Mathematica, Matlab, Mathcad, Scilab dsb.

Namun diantara software-software di atas, manakah yang lebih baik dan cocok digunakan? Nah pada artikel ini akan mencoba untuk membandingkan kemampuan-kemampuan software untuk melihat manakah yang lebih baik. Dalam hal ini, akan dibandingkan antara Maple (rilis 10) dan Mathematica (rilis 5.2).

Terkait dengan kemudahan penggunaan, berikut ini tabel perbandingan antara kedua software tersebut

Sumber: http://www.adeptscience.co.uk

Dari tabel perbandingan di atas, bisa kita lihat bahwa secara umum kemampuan Maple untuk kemudahan penggunaan yang lebih baik daripada Mathematica. Namun keduanya sama-sama memiliki fitur untuk keperluan mengajar dan belajar (lihat pada parameter Interactive tutors for teaching and learning).

Sekarang kita lihat dari sisi keinteraktifan dokumen yang dibuat dengan kedua software.

Berdasarkan tabel di atas, Maple 10 memiliki kemampuan yang lebih dalam sisi keinteraktifan dokumen. Namun saat ini, software Mathematica 6 sudah memiliki fitur keinteraktifan yang lebih baik dibandingkan rilis sebelumnya (5.2). Sebagai contoh misalkan untuk fitur 3D plotting. Dalam Mathematica 6, kita bisa dengan mudah memutar-mutar obyek 3D yang dihasilkan dimana fitur ini tidak ada dalam rilis 5.2 nya.

Nah sekarang kita akan lihat perbandingan kedua software dari sisi kekuatan untuk komputasi matematikanya.

Bisa kita lihat berdasarkan tabel di atas bahwa dapat dikatakan bahwa kedua software memiliki kemampuan yang sama dalam hal kekuatan komputasinya.

Dari data perbandingan yang telah diberikan, dapat kita simpulkan bahwa apabila Anda ingin memanfaatkan software sebagai tool for learning sebaiknya menggunakan Maple karena lebih unggul dibandingkan Mathematica, dilihat dari sisi kemudahan penggunaan dan keinteraktifannya. Sedangkan pemanfaatan software sebagai tool for computing, Anda bisa menggunakan keduanya karena sama-sama powerful dari sisi komputasi.

Untuk pemanfaatan Maple sebagai tool for learning matematika, saat ini sudah banyak referensi asing yang membahasnya. Sedangkan untuk referensi Indonesia masih sangat jarang. Namun kini, sudah ada referensi Indonesia dalam bentuk ebook terkait dengan hal ini. Anda bisa mendapatkannya sekarang.

Related posts:

1. Animasi Visualisasi Grafik Kurva Linear dengan Mathematica
2. Membuat Limas 3D dengan Mathematica
3. Problem Solving “Masalah Maksimum dan Minimum Fungsi” dengan Maple

Media yang akan dibuat, memungkinkan kita menempatkan sebuah titik atau beberapa titik pada koordinat yang diinginkan. Sehingga input dari media ini adalah titik atau himpunan titik koordinat.

OK… kita mulai saja membuat media ini.

Langkah pertama kita buat function yang menerima input berupa titik atau himpunan titik koordinat. Function ini kita berinama koordinat[]

koordinat[titik_] := Graphics[{PointSize[0.03], Point[titik]}]

Maksud dari perintah {PointSize[0.03], Point[titik]} adalah menampilkan titik pada koordinat tertentu, dalam hal ini ‘titik’ merupakan koordinatnya. Ukuran titik yang ditampilkan adalah 0.03. Anda boleh mengubah ukurannya sesuai yang diinginkan.

Setelah function koordinat[] di atas kita buat, coba selanjutnya berikan perintah

koordinat[{3, 4}]

Perintah di atas akan menghasilkan sebuah titik pada bidang kartesius. Namun hasil yang muncul kurang menarik dan agak sulit dibaca letak titiknya.

Supaya titik-titik koordinat mudah dibaca, alangkah baiknya pada sistem koordinat kartesius ini diberikan garis/grid. Dalam hal ini kita batasi, grid untuk sumbu-x mulai dari -5 s/d 5. Begitu pula untuk sumbu-y. Sekarang coba tambahkan perintah GridLines pada function koordinat[] yang tadi telah dibuat.

koordinat[titik_] := Graphics[{PointSize[0.03], Point[titik]},
                             GridLines -> {{-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5},
                                           {-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}}]

Selanjutnya jalankan kembali perintah

koordinat[{3, 4}]

Hasil yang muncul sudah lebih baik karena terdapat grid untuk memudahkan pembacaan.

Sekarang kita coba beri label untuk setiap titik pada sumbu koordinat. Label yang dimaksud adalah angka-angka -5, -4, -3, …, 2, 3, 4, 5. Lagi-lagi label ini untuk memudahkan pembacaan titik koordinat.

koordinat[titik_] := Graphics[{PointSize[0.03], Point[titik]},
                             GridLines -> {{-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5},
                                           {-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}},
                             Ticks -> {{-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5},
                                       {-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}},
                             Axes -> True,
                             PlotRange -> {{-5, 5}, {-5, 5}}]

Nah… kita coba lihat hasilnya kembali dengan memberikan perintah

koordinat[{3, 4}]

OK… apabila Anda lihat hasilnya sudah cukup lumayan. Tapi sayang…. tulisan label angka-angka pada sumbunya terlalu kecil. Oleh karena itu kita coba perbesar ukuran fontnya. Kalau perlu kita ubah pula warnanya menjadi merah.

koordinat[titik_] := Graphics[{PointSize[0.03], Point[titik]},
                             GridLines -> {{-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5},
                                           {-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}},
                             Ticks -> {{-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5},
                                       {-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}},
                             Axes -> True,
                             PlotRange -> {{-5, 5}, {-5, 5}},
                             LabelStyle -> Directive[Red, FontSize -> 12]]

Terakhir… coba Anda cek lagi tampilan outputnya dengan menuliskan perintah

koordinat[{3, 4}]

Wuih… hasilnya sudah OK sekarang. Ini dia hasilnya setelah kita lakukan modifikasi pada function koordinat[].

Anda dapat pula menggambar beberapa titik koordinat dalam satu bidang yang sama. Berikut ini contohnya

koordinat[{{1, 2}, {4, 2}, {4, 4}, {1, 4}}]

Hasilnya adalah

Related posts:

1. Membuat Media Interaktif untuk Menjelaskan Konsep Sudut dengan Mathematica
2. Membuat Limas 3D dengan Mathematica
3. Membuat Obyek Unsur-unsur Kubus 3D dengan Mathematica

Untuk mempermudah pemahaman dalam proses pembuatannya, penjelasan akan diberikan secara tahap demi tahap.

Sebagai ilustrasi, perhatikan hasil akhir dari media yang akan kita buat di bawah ini.

OK.. kita mulai saja pembuatannya.

Langkah pertama kita harus buat perintah untuk membuat animasi di Mathematica.

Manipulate[Graphics[], {}]

Lho… kok masih kosong parameter-parameternya? Sabar teman… kita baru mulai langkah awal.
Karena kita akan membuat animasi perubahan sudut dari 0 – 360 derajad, maka kita anggap animasi ini memiliki 361 frame, Tapi bagaimana menyatakannya dalam Mathematica? Ya… kita tambahkan saja dalam parameter perintah di atas

Manipulate[Graphics[], {sudut, 0, 360, 1}]

Apa maksud dari parameter {sudut, 0, 360, 1}? Maksudnya adalah perubahan sudutnya mulai dari 0 – 360 dengan tingkat kenaikan sudutnya 1 derajad.

Trus… obyek apa yang pertama kali dibuat? Mmm… kita bisa membuat obyek garis merah putus-putus, yang horizontal terlebih dahulu. Garis ini digunakan sebagai garis bantu untuk membaca sudut.

Manipulate[Graphics[{{Red, Dashed, Line[{{-1, 0}, {1, 0}}]}}],
                     {sudut, 0, 360, 1}]

Garis tersebut dimisalkan menghubungkan titik (-1, 0) dan (1, 0).

Selanjutnya kita buat juga garis vertikalnya.

Manipulate[Graphics[{{Red, Dashed, Line[{{-1, 0}, {1, 0}}]},
                     {Red, Dashed, Line[{{0, 1}, {0, -1}}]}}],
                     {sudut, 0, 360, 1}]

Berikutnya, kita buat garis hitam horizontal yang bersifat statis.

Manipulate[Graphics[{{Red, Dashed, Line[{{-1, 0}, {1, 0}}]},
                     {Red, Dashed, Line[{{0, 1}, {0, -1}}]},
                     {Line[{{0, 0}, {1, 0}}]}}],
                     {sudut, 0, 360, 1}]

Nah… setelah garis sudut statis sudah dibuat, berikutnya garis sudut yang dinamis (yang bergerak). Garis ini kita buat dengan panjang 1 satuan. Bagaimana cara membuatnya? Mmm.. sebentar.. Perintah Mathematica untuk membuat garis adalah Line[]. Garis ini menghubungkan 2 buah titik. Lantas… titik mana saja untuk membuat garis dinamis ini? Salah satu titiknya jelas ada di (0, 0) karena merupakan titik pangkal perputaran. Selanjutnya apa titik yang kedua? Bagaimana pula hubungan titik tersebut dengan sudut? Maksudnya jika sudut yang dibentuk antara garis hitam statis dengan garis dinamis adalah m derajad, bagaimana posisi titik kedua untuk membuat garis dinamis ini? OK.. perhatikan ilustrasi berikut ini

Dari gambar di atas, dapat dituliskan

cos(m) = x/1 = x
sin(m) = y/1 = y

Sehingga titik (x, y) kaitannya dengan sudut yang dibentuk garis dinamis terhadap garis statis adalah (cos(m), sin(m)), dengan m nya adalah sudut. Dengan demikian garis dinamis ini menghubungkan titik (0, 0) dan (cos(m), sin(m)). Namun ingat bahwa nilai sudut m pada Mathematica adalah dalam satuan radian, sedangkan satuan sudut yang kita gunakan adalah derajad. Maka kita harus konversi m ke dalam derajad, yaitu Pi*m/180. Sehingga titik untuk membuat garis dinamis ini adalah (0, 0) dan (cos(Pi*m/180), sin(Pi*m/180)). Nah… kita buat di Mathematicanya. Ingat… kita sesuaikan variabelnya, karena gunakan variabel bernama ‘sudut’, maka m nya kita ganti dengan ‘sudut’, dimana nilai ‘sudut’ ini bergerak dari 0 – 360 derajad.

Manipulate[Graphics[{{Red, Dashed, Line[{{-1, 0}, {1, 0}}]},
                     {Red, Dashed, Line[{{0, 1}, {0, -1}}]},
                     {Line[{{0, 0}, {1, 0}}]},
                     {Line[{{0, 0}, {Cos[sudut Pi/180], Sin[sudut Pi/180]}}]}}],
                     {sudut, 0, 360, 1}]

Apabila perintah di atas kita jalankan, maka animasi sudah bisa dijalankan dengan menggeser slider yang ada. Namun, alangkah cantiknya seandainya kita gambar pula kurva lengkung yang menunjukkan sudut yang dibentuk antara dua garis hitam.

Untuk membuat kurva lengkung ini, kita gunakan perintah Circle[]. Perintah ini pada dasarnya digunakan untuk membuat lingkaran, sesuai namanya. Namun dapat pula kita membuat kurva lengkung menggunakan perintah ini. Sebagai contoh misalkan diberikan perintah Circle[{0, 0}, 1, {0, Pi}]. Perintah ini akan membuat lingkaran dengan pusat (0, 0), panjang jari-jari 1 satuan, dan kurva yang dibentuk mulai dari sudut 0 s/d Pi radian. Dengan demikian perintah ini akan menghasilkan kurva lengkung 1/2 lingkaran.

Nah… sekarang kita kaitkan dengan kasus yang sedang kita kerjakan. Dalam hal ini kurva lengkung yang akan dibuat mestinya berada di pusat (0, 0), panjang jari-jarinya kurang dari 1 satuan (misal kita ambil 0.25 satuan), dan sudut awal kurva lengkung adalah 0 radian (0 derajad). Yang menjadi masalah adalah sampai sudut berapakah kurva lengkung ini dibuat? Ya… tentu saja sampai m radian atau Pi*m/180 derajad. Sehingga perintah untuk membuat kurva lengkung ini adalah Circle[{0, 0}, 0.25, {0, Pi*m/180}]. Sekarang bisa kita tambahkan ke perintah Mathematicanya

Manipulate[Graphics[{{Red, Dashed, Line[{{-1, 0}, {1, 0}}]},
                     {Red, Dashed, Line[{{0, 1}, {0, -1}}]},
                     {Line[{{0, 0}, {1, 0}}]},
                     {Line[{{0, 0}, {Cos[sudut Pi/180], Sin[sudut Pi/180]}}]},
                     {Dashed, Circle[{0, 0}, 0.25, {0, sudut Pi/180}]}}],
                     {sudut, 0, 360, 1}]

OK… jadi deh… selamat bersenang-senang dengan media ini. Anda dapat melihat nilai sudutnya atau bahkan mengganti nilai sudut sesuai yang diinginkan. Bagaimana caranya? Cukup klik tanda + di sebelah kanan slider (scroller untuk menggeser sudut).

Pertanyaan dan diskusi terkait dengan materi yang di tutorial ini dapat dituliskan pada komentar di bawah ini.

Related posts:

1. Membuat Media Untuk Pengenalan Sistem Koordinat Kartesius dengan Mathematica
2. Membuat Obyek Unsur-unsur Kubus 3D dengan Mathematica
3. Membuat Limas 3D dengan Mathematica

Nah pada artikel ini akan disajikan beberapa visualisasi 3D tentang perpotongan obyek tersebut, serta perintahnya dalam Mathematica untuk menghasilkan visualisasinya.

Perpotongan Garis dengan Bidang

Seperti pada materi pelajaran yang telah diberikan di SMU, bahwa perpotongan garis dengan bidang akan menghasilkan sebuah titik. Apa benar hal ini? Lihat saja pada visualisasi berikut ini.

Apa perintah Mathematica untuk membuat visualisasi di atas? Ini dia perintahnya

Graphics3D[{Polygon[{{0, 0, 0}, {2, 0, 0}, {2, 1, 0}, {0, 1, 0}}],
           {Line[{{1, 0.5, 1}, {1, 0.5, -1}}]}}, Boxed -> False]

Perintah di atas menggabungkan 2 buah obyek yaitu obyek berupa persegi panjang, yang dalam hal ini dibuat dengan perintah Polygon[], serta garis yang dibuat dengan perintah Line[].

Perpotongan Bidang dengan Bidang

Nah… kalau perpotongan yang ini, akan dihasilkan sebuah garis. Eit… benarkah berupa garis? Jangan-jangan itu hanya teori? Untuk buktinya, silakan perhatikan visualisasi berikut.

OO… ternyata benar bahwa perpotongan bidang dengan bidang akan menghasilkan sebuah garis.

Visualisasi di atas dihasilkan  dari perintah di bawah ini

Graphics3D[{Polygon[{{0, 0, 0}, {2, 0, 0}, {2, 1, 0}, {0, 1, 0}}],
           Polygon[{{1, 0, 1}, {1, 1, 1}, {1, 1, -1}, {1, 0, -1}}]},
           Boxed -> False]

Konsep untuk membuat visualisasi perpotongan 2 buah bidang dengan Mathematica adalah dengan membuat dua buah obyek bidang, dalam hal ini menggunakan perintah Polygon[], dan diatur koordinatnya sedemikian hingga kedua poligon berpotongan.

Perpotongan Bidang dengan Bangun Ruang

Apa jadinya ya jika sebuah bidang dipotongkan atau diiriskan dengan sebuah bangun ruang (pejal)? Dalam teori sih… kita akan mendapatkan informasi bahwa hasil irisannya adalah berupa bidang.  Yuk… kita cek kebenarannya dengan melihat visualisasi ini

Bener deh… berupa bidang. Kebetulan pada visualisasi 3D tersebut menunjukkan perpotongan sebuah bidang dengan bangun ruang berbentuk kubus.

Perintah Mathematica untuk membuat visualisasi di atas adalah

Graphics3D[{{Opacity[0.5], Yellow, Cuboid[]},
            {Opacity[0.5], Polygon[{{-0.25, 0.5, 1.5},
                                    {0.55, -0.25, 1.5},
                                    {0.55, -0.25, -0.5},
                                    {-0.25, 0.5, -0.5}}]}},
             Boxed -> False]

Nah… Anda dapat berkreasi sendiri untuk membuat obyek bangun ruangnya selain kubus.

Ada pertanyaan dan diskusi tentang artikel ini, silakan kirim komentar di bawah ini

Related posts:

1. Visualisasi Metode Biseksi (Belah Dua) Menggunakan Mathematica
2. Animasi Visualisasi Grafik Kurva Linear dengan Mathematica
3. Membuat Obyek Unsur-unsur Kubus 3D dengan Mathematica

Namun, sayangnya dalam Mathematica tidak ada perintah khusus untuk membuat limas, seperti halnya Cuboid[] untuk membuat kubus atau Cylinder[] untuk membuat silinder. Tapi jangan khawatir, limas masih tetap bisa kita buat dengan mudah.

Untuk membuat limas dengan Mathematica, kita akan gunakan perintah GraphicsComplex[]. Konsep dasar menggunakan GraphicsComplex[] ini adalah menggabungkan beberapa poligon sehingga membentuk bangun ruang. Oleh karena itu, langkah pertama yang harus kita tentukan adalah koordinat-koordinat titik sudut untuk limas. Selanjutnya titik-titik sudut tersebut kita hubungkan sehingga membentuk poligon. Dan poligon-poligon ini kita gabung menggunakan GraphicsComplex[] sehingga membentuk limas.

Sebagai contoh, misalkan kita akan membuat limas segi empat dengan panjang alas 3 satuan, lebar 2 satuan dan tinggi 2.5 satuan.

Langkah pertama adalah tentukan titik-titik koordinat untuk setiap titik sudut limas.

titik = {{0, 0, 0}, {3, 0, 0}, {3, 2, 0}, {0, 2, 0}, {1.5, 1, 2.5}};

Nah setelah titik-titik sudut tersebut ditentukan, selanjutnya kita hubungkan titik-titik tersebut hingga membentuk sebuah poligon untuk sisi dari limas. Bagaimana cara menghubungkannya? Cara menghubungkannya dengan mengelompokkannya seperti perintah berikut:

sisi = {{1, 2, 5}, {2, 3, 5}, {3, 4, 5}, {4, 1, 5}, {1, 2, 3, 4}};

Waduh… maksudnya apa ya perintah di atas? Jangan bingung, mudah kok pemahamannya. Misalkan {1, 2, 5}, maksudnya adalah menghubungkan titik (0, 0, 0), (3, 0, 0), dan (1.5, 1, 2.5) sehingga menjadi salah satu sisi limas. Perhatikan, bahwa titik (0, 0, 0) adalah titik urutan pertama dari daftar 5 titik yang ditentukan. Titik (3, 0, 0) adalah titik urutan ke 2, dan titik (1.5, 1, 2.5) adalah urutan ke lima. Demikian pula untuk {2, 3, 5} yaitu menghubungkan titik (3, 0, 0), (3, 2, 0) dan (1.5, 1, 2.5) untuk menjadi sebuah sisi limas. Begitu seterusnya… Karena sisi limas segi empat memiliki 5 sisi, maka ada 5 pasangan titik yang dibuat.

Nah.. setelah titik sudut dan pasangan titik untuk membentuk sisi limas ditentukan, selanjutnya adalah mulai membentuk limasnya dengan menggunakan GraphicsComplex[].

Graphics3D[GraphicsComplex[titik, Polygon[sisi]], Boxed -> False]

OK… limas segi empat sudah terbentuk, namun alangkah lebih baik kalo kita buat sedikit transparan

Graphics3D[{Opacity[.2], GraphicsComplex[titik, Polygon[sisi]]},
            Boxed -> False]

Wow… keren bok… limas segi empat sudah jadi. Selanjutnya silakan bereksplorasi dengan memutar-mutar limasnya.

Now… It’s your turn to try… Cobalah buat limas segitiga.

Related posts:

1. Membuat Media Interaktif untuk Menjelaskan Konsep Sudut dengan Mathematica
2. Membuat Obyek Unsur-unsur Kubus 3D dengan Mathematica
3. Membuat Obyek Kubus 3D dengan Mathematica